Избранные парадоксы
Jul. 21st, 2009 12:08 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
alik_ntuДумаю парадокс Бертрана Рассела про Брадобрея знают все («Брадобрей бреет всех людей, которые не бреются сами. Бреет ли он себя?»), а вот подборка некоторых забавных парадоксов из разных областей.
Парадокс Лжеца
«То, что я утверждаю сейчас, ложно»
Если это высказывание истинно, то оно ложно, и в то же время, если оно ложно, то истинно. Таким образом оно противоречит «закону исключённого третьего» в двоичной логике.
Предложение такого рода принципиально не может быть ни доказано, ни опровергнуто в пределах того языка, на котором оно изложено.
Вариация:
Платон: «Следующее высказывание Сократа будет ложным».
Сократ: «То, что сказал Платон, истинно».
Утверждение, составляющее парадокс лжеца в формальной логике не доказуемо и не опровержимо. Поэтому считается, что данное высказывания вообще не является логическим утверждением.
Парадокс воронов
«Существование красного яблока увеличивает вероятность того, что все во́роны чёрные.»
Предположим, что существует теория, согласно которой все вороны чёрные. Согласно формальной логике, эта теория эквивалентна теории, что все предметы, не являющиеся чёрными, не являются воронами. Если человек увидит много чёрных воронов, то его уверенность в том, что эта теория верна, увеличится. Если же он увидит много красных яблок, то это увеличит его уверенность в том, что все не чёрные предметы не являются воронами, и, согласно вышесказанному, должно также увеличить и его уверенность в том, что все вороны чёрные.
Однако этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации человеком — в реальной жизни так не происходит. Наблюдение красных яблок увеличит уверенность наблюдателя в том, что все не чёрные предметы не являются воронами, но при этом не увеличит его уверенность в том, что все вороны чёрные.
Доказательство одноцветности всех лошадей методом математической индукции
Доказываемое утверждение: Все лошади одного цвета. Проведём доказательство по индукции.
База индукции: Одна лошадь, очевидно, одного (одинакового) цвета.
Шаг индукции: Пусть доказано, что любые K лошадей всегда одного цвета. Рассмотрим K + 1 каких-то лошадей. Уберём одну лошадь. Оставшиеся K лошадей одного цвета по предположению индукции. Возвратим убранную лошадь и уберём какую-то другую. Оставшиеся K лошадей снова будут одного цвета. Значит, все K + 1 лошадей одного цвета.
Отсюда следует, что все лошади одного цвета. Утверждение доказано.
Парадокс Карри
«Если это утверждение верно, то русалки существуют»
* Обозначим через S высказывание «Если S верно, то русалки существуют»
* Мы не знаем, верно ли высказывание S. Но если бы высказывание S было верным, то это влекло бы существование русалок
* Но именно это и утверждается в высказывании S, таким образом S - верно
* Следовательно, русалки существуют
Причиной парадокса Карри является использование в утверждении недопустимой ссылки на само себя.
Еще парадоксы самореференции (самоотносимости)
Парадокс Петрония: «Ограничивайте себя во всех вещах, даже в ограничении»
Прикажите слуге не слушаться Вас. Не слушаясь Вас, он ослушается приказа, так как он исполняет его, не слушаясь Вас.
Парадокс определения: Невозможно дать определение определению, ибо пока мы не дали это определение, само понятие определения остается неизвестным.
Парадоксы определений
Корабль Тесея: Если каждый элемент корабля был заменён хотя бы один раз, можно ли считать корабль прежним кораблём?
Парадокс кучи: В какой момент куча перестанет быть кучей, если отнимать от неё по одной песчинке? Или, в какой конкретно день какой-либо человек становится лысым?
Парадокс Алабамы
После переписи населения 1880 года главный клерк Бюро переписи населения США, вычисляя распределение мест в Конгрессе при изменении их количества от 275 до 350 обнаружил, что штат Алабама получает 8 мест из 299 и только 7 из 300. Вообще Алабамский парадокс относится к любому виду пропорционального распределения, где увеличение общего количества приводит к уменьшению одной из долей.
Причина кроется в том, что увеличение общего числа увеличивает долю больших штатов быстрее, чем маленьких.
Парадокс дней рождения
Какая вероятность того, что у двоих учеников из одного класса день рождения совпадает? Оказывается - больше половины, если учеников больше 23!
Для группы из 60 или более человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух её членов составляет более 99 %, хотя 100 % она достигает, только когда в группе не менее 366 человек (с учётом високосных лет - 367).
Парадокс контроля
Человек не может быть свободен от контроля, ибо чтобы быть свободным от контроля, нужно контролировать себя.
Парадокс всемогущества
Может ли всемогущее существо создать камень, который оно само не сможет поднять?
Стрела Зенона
Летящая стрела каждый момент времени занимает определенное положение в пространстве. Когда же она перемещается из одного положения в другое?
Парадокс бережливости
Если каждый будет экономить деньги во время экономического спада, то совокупный спрос упадёт и в результате уменьшатся суммарные накопления населения.
(Нас обманывали тезисом "Экономика должна быть экономной"... На самом деле все наоборот...)
Парадокс Лжеца
«То, что я утверждаю сейчас, ложно»
Если это высказывание истинно, то оно ложно, и в то же время, если оно ложно, то истинно. Таким образом оно противоречит «закону исключённого третьего» в двоичной логике.
Предложение такого рода принципиально не может быть ни доказано, ни опровергнуто в пределах того языка, на котором оно изложено.
Вариация:
Платон: «Следующее высказывание Сократа будет ложным».
Сократ: «То, что сказал Платон, истинно».
Утверждение, составляющее парадокс лжеца в формальной логике не доказуемо и не опровержимо. Поэтому считается, что данное высказывания вообще не является логическим утверждением.
Парадокс воронов
«Существование красного яблока увеличивает вероятность того, что все во́роны чёрные.»
Предположим, что существует теория, согласно которой все вороны чёрные. Согласно формальной логике, эта теория эквивалентна теории, что все предметы, не являющиеся чёрными, не являются воронами. Если человек увидит много чёрных воронов, то его уверенность в том, что эта теория верна, увеличится. Если же он увидит много красных яблок, то это увеличит его уверенность в том, что все не чёрные предметы не являются воронами, и, согласно вышесказанному, должно также увеличить и его уверенность в том, что все вороны чёрные.
Однако этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации человеком — в реальной жизни так не происходит. Наблюдение красных яблок увеличит уверенность наблюдателя в том, что все не чёрные предметы не являются воронами, но при этом не увеличит его уверенность в том, что все вороны чёрные.
Доказательство одноцветности всех лошадей методом математической индукции
Доказываемое утверждение: Все лошади одного цвета. Проведём доказательство по индукции.
База индукции: Одна лошадь, очевидно, одного (одинакового) цвета.
Шаг индукции: Пусть доказано, что любые K лошадей всегда одного цвета. Рассмотрим K + 1 каких-то лошадей. Уберём одну лошадь. Оставшиеся K лошадей одного цвета по предположению индукции. Возвратим убранную лошадь и уберём какую-то другую. Оставшиеся K лошадей снова будут одного цвета. Значит, все K + 1 лошадей одного цвета.
Отсюда следует, что все лошади одного цвета. Утверждение доказано.
Парадокс Карри
«Если это утверждение верно, то русалки существуют»
* Обозначим через S высказывание «Если S верно, то русалки существуют»
* Мы не знаем, верно ли высказывание S. Но если бы высказывание S было верным, то это влекло бы существование русалок
* Но именно это и утверждается в высказывании S, таким образом S - верно
* Следовательно, русалки существуют
Причиной парадокса Карри является использование в утверждении недопустимой ссылки на само себя.
Еще парадоксы самореференции (самоотносимости)
Парадокс Петрония: «Ограничивайте себя во всех вещах, даже в ограничении»
Прикажите слуге не слушаться Вас. Не слушаясь Вас, он ослушается приказа, так как он исполняет его, не слушаясь Вас.
Парадокс определения: Невозможно дать определение определению, ибо пока мы не дали это определение, само понятие определения остается неизвестным.
Парадоксы определений
Корабль Тесея: Если каждый элемент корабля был заменён хотя бы один раз, можно ли считать корабль прежним кораблём?
Парадокс кучи: В какой момент куча перестанет быть кучей, если отнимать от неё по одной песчинке? Или, в какой конкретно день какой-либо человек становится лысым?
Парадокс Алабамы
После переписи населения 1880 года главный клерк Бюро переписи населения США, вычисляя распределение мест в Конгрессе при изменении их количества от 275 до 350 обнаружил, что штат Алабама получает 8 мест из 299 и только 7 из 300. Вообще Алабамский парадокс относится к любому виду пропорционального распределения, где увеличение общего количества приводит к уменьшению одной из долей.
Причина кроется в том, что увеличение общего числа увеличивает долю больших штатов быстрее, чем маленьких.
Парадокс дней рождения
Какая вероятность того, что у двоих учеников из одного класса день рождения совпадает? Оказывается - больше половины, если учеников больше 23!
Для группы из 60 или более человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух её членов составляет более 99 %, хотя 100 % она достигает, только когда в группе не менее 366 человек (с учётом високосных лет - 367).
Парадокс контроля
Человек не может быть свободен от контроля, ибо чтобы быть свободным от контроля, нужно контролировать себя.
Парадокс всемогущества
Может ли всемогущее существо создать камень, который оно само не сможет поднять?
Стрела Зенона
Летящая стрела каждый момент времени занимает определенное положение в пространстве. Когда же она перемещается из одного положения в другое?
Парадокс бережливости
Если каждый будет экономить деньги во время экономического спада, то совокупный спрос упадёт и в результате уменьшатся суммарные накопления населения.
(Нас обманывали тезисом "Экономика должна быть экономной"... На самом деле все наоборот...)
